数学成绩评定引发的教学思考的策略探讨

作者：临夏中学教研室　 梁正　 　 西北师范大学教育学院　 曹春艳
　　
　　“加权平均数”是初中统计学习的一个核心概念，也是学生比较难以理解的一个统计概念.在计算“加权平均数”的过程中，如何选择“权”和“权重”至关重要.笔者根据自己多年的教学经验，结合一次初中数学观摩课，参考3个不同版本教材“加权平均数”的解释，对“权”和“权重”的概念进行解析，在此基础上提出相关参考建议.
　　
　　一、问题的提出
　　
　　在一次初中数学观摩课上，有一位教师在“数据的代表”教学中，涉及加权平均数这一概念，其中用到这样一道例题：
　　
　　我班6位同学在7年级第2学期的数学成绩如表1，如何总评上述同学的数学成绩？
　　
　　根据以往的知识，大多数同学都采用算数平均数的做法得出这道题的结论：（期中成绩+期末成绩）/2，这种做法虽然从某种意义上来说，可以反映学生的总评成绩，然而它却将期中和期末成绩同等看待，忽视了期末成绩的重要性.而且这样的计算误区不仅出现在单一学科成绩的计算中，也出现在总成绩的评定中以及一些日常生活类似数据的处理中.出此题的目的就是考查学生能否将数据计算的标准进行统一，在加权的基础上求出平均数，从而培养学生的辨析思维能力.在此题的教学过程中，确实出现了教者所预料的错误，好处是在教者的引导之下，学生发现了这样计算的失误之处，得出了比较满意的结果，从而纠正了一些已有的错误与偏差.在评议此课中，出现了两种不同的声音：一种意见认为此题有亮点、有特色、有意境.而另一种观点则认为此题无新意、不必要、不适宜.就是这样一道平凡的例题在教学中引发了教学争鸣，说明它有一定的存在价值.对此问题我们进行了一番简单的分析和思考.
　　
　　二、“权”与“权重”的概念解析
　　
　　要理解“加权平均数”，先得理解“权”和“权重”.在古代，“权”的意思是秤砣，就是在秤上滑动以观察质量的铁疙瘩.《孟子·梁惠王上》曰：“权，然后知轻重.”就表达了这个意思.现代的“权”在字典里的解释是：职责范围内支配和指挥的力量.“权重”是指每项指标在总体中所占的比重数，描述了每项指标在整体评价中的相对重要程度.生活中就有这两个概念的影子，诸如，人们常说话语权，就是看他人在人们心目中的“权重”大小.那么对初中数学而言，什么是“权”和“权重”？由于数学知识具体呈现在教科书上，下面就以最具有代表性的3本教科书中的对“权”和“权重”的概念阐述进行解析.
　　
　　1.概念呈现
　　
　　在想一想的基础上，通过广告公司选用人员的测试成绩，给出加权平均数的概念.即在实际问题中，一组数据中的每个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”.也就是说“权”是反映这一个数在一组数据中重要程度的一个量.而此时求这组数据的平均数就是计算加权平均数.然后再通过打扫卫生、增长百分数等案例来剖析和深化对加权平均数的解析.也就是说把“权”在数据中的表现形态通过具体案例的形式予以展现.
　　
　　然后通过录用人员、演讲比赛中评委打分、载客量、灯泡寿命等具体案例来认知加权平均数的概念.
　　
　　在华师版中，此概念出现在8年级下册第21章《数据的整理与初步处理》第1节的“算术平均数与加权平均数”中，通过计算某居民电话费用的平均数导出算术平均数的概念；接着通过计算和绘制某校初二年级各班人数平均数及条形图，借用计算器来计算算术平均数强化对此概念的理解；最后通过计算某学生一学期总评成绩（平时占40%，考试占60%）以及公司面试成绩的确定及录用、苹果均价的计算、电梯载重、扇形统计图的制作、上海世博会的投票等以例说的形式给出加权平均数的概念及其涉及的权重的概念[3].不同的是，华师版注重用图形语言来表述加权平均数中所涉及的概念，而且有一个十分有意义的阅读材料“均贫富”.
　　
　　2.分析与比较
　　
　　比较3种版本的教材可以发现：都是通过典型的案例说明在计算一组数据的代表性元素时，由于组中数据的重要程度不同，需要一个量来描述其相对重要程度，这就是“权”或“权重”.不同的是在华师版中只出现“权重”，而在其他两版本中只出现“权”.那么“权”与“权重”有没有区别呢？如何理解“权”与“权重”？在讲课、评课与议课中发现教师对此概念的理解并不是十分清晰，出现了模糊认识，尤其有些教师指出，在一些练习题中很难找出权，那么计算加权平均数就有困难.
　　
　　从3个版本教科书的阐述中可以析理出“权”与“权重”概念的联系与区别：
　　
　　（1）人教版中对“权”有明确的定义，北师版只是以案例的形式给出“权”，都是以整数、比例、百分数的形式呈现，并没有出现“权重”的概念.
　　
　　（2）华师版只出现“权重”的描述性定义，没有出现“权”的概念，只出现用百分数描述的方式.
　　
　　从数学的角度讲，这两个概念是形异质同.也就是说从本质上讲都是描述一组数据中各个数据相对重要性的一个量，只不过是表现形式不同而已.华师版是把一组数据中的“权重”之和视为1的情形下讨论各个数所占重要性的百分比.如果视为“权”的话，其“权”就小于1；而人教版、北师版以3种形式赋“权”，其实质是一样的.
　　
　　三、教学思考
　　
　　综上所述，关于加权平均数的理解，关键在于“权”和“权重”.为了澄清误区，方便教与学，笔者从教学设计和教学实施角度提出建议：
　　
　　从教学设计的角度讲，对上述例题之所以出现不同声音，是因为“加权平均数”的概念讲述分两节进行，而上述例题是在第一课时出现的，所以会产生争论.有些教师认为此处出现比较恰当，有些教师则认为此处出现淡化了主题，把重点放在了分数的统一上，而没有放在“权”的理解上.基于上述的争论，者认为应当整合人教版的设计思路，以人均耕地面积的计算为导入点，引出加权平均数的概念，然后过渡到上面的例题，既可以减缓难度，又可以强化对概念的理解，然后再以公司招聘为例剖析“权”在实际生活中的应用价值.虽然这样的例题在3种教科书中都出现，但建议在教学设计时应用华师版的案例，可以更好地培养学生的辨析能力.从教学实施的角度讲，应当把重心放在学生的分组讨论上，让学生通过尝试、对比、分析、评价去感受权、体会权、分析权，进而达到对新知识的建构.整个教学过程中要充分发挥学生的主观能动性.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度，掌握“加权平均数”的概念与计算，发展学生初步的统计意识和数学应用能力.留给学生独立思考的时间，在学生独立思考后，再小组讨论交流，使每位学生都学会数学思考，学会合作交流.同时，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识和方法的启发引导、学生合作交流中应注意的问题、对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.