高中数学思想-待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
　　
　　待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
　　
　　使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
　　
　　第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
　　
　　第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
　　
　　第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
　　
　　如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
　　
　　1.利用对应系数相等列方程；
　　
　　2.由恒等的概念用数值代入法列方程；
　　
　　3.利用定义本身的属性列方程；
　　
　　4.利用几何条件列方程。
　　
　　比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
　　
　　待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
　　
　　待定系数法应用举例
　　
　　例1、分解因式x﹣x﹣5x﹣6x﹣4
　　
　　分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
　　
　　解析：设x﹣x﹣5x﹣6x﹣4=(x﹢ax﹢b)(x﹢cx﹢d)=x﹢(a﹢c)x﹢(ac﹢b﹢d)x﹢(ad﹢bc)x﹢bd
　　
　　则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
　　
　　例2：已知x^2-5=（2一A）·x^2＋Bx＋C(x^2意思为x的平方)，求A，B，C的值．
　　
　　分析：解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值．这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．
　　
　　用待定系数法的解题步骤：
　　
　　一、确定所求问题含待定系数的解析式。上面例题中，解析式就是：（2一A）·x^2＋Bx＋C
　　
　　二、根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。在这一题中，恒等条件是：2-A=1B=0C=-5
　　
　　三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。A=1B=0C=-5答案就出来了。
　　
　　例3待定系数法因式分解的应用
　　
　　分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
　　
　　分析由于
　　
　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
　　
　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
　　
　　解设
　　
　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
　　
　　比较两边对应项的系数，可解得m=3，n=1．
　　
　　所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
　　
　　待定系数法作为高中数学的重要思想之一，它在我们的解题中应用也是很广泛的，所以我们必须要加强对待定系数法的理解及应用！