“留白艺术”在数学课堂中的应用

作者：佚名
　　
　　【前言】：“留白”原是国画创作的一种构图方法，给观赏者留下视觉延伸的空间，提供了一个深远的意境让读者去思考，去想象，让读者和自己共同完成作品美学价值的再创造。在想象里观赏者把自己的心情揉入画卷，丰富了画面的意境，提升了画面的美感。古今往来，艺术大师往往都是留白大师，如齐白石先生的画，留白处言有尽而意无穷，空灵虚幽，虚实相映，方寸之间彰显天地之宽。
　　
　　我的“留白”来自于教学中的一次偶然事件
　　
　　二个月前的一天晚上，为准备绍兴市骨干教师培训班上的一节公开课《一元一次方程复习》，我在课件制作中出了个小问题，本想把日历中的几个数用长方形圈出来并填充着色，但着色后数字被覆盖再也无法显示。我绞尽脑汁地试了许多方法，但无济于事。
　　
　　（1）月历中的某数、它左上方的数、它右下方的数的和为42，这个数是几？
　　
　　（2）月历中某列4个数的和为58，这4个数是几？
　　
　　（3）在这月历中能否用长方形圈出四个数，使这四个数的和为102，说出你的理由．
　　
　　我决定将错就错，在“空白”的地方设置一个问题，让学生通过观察并思考，“这空白的地方应该是什么数，为什么？”
　　
　　我这样设置的原因有两个，其一，能引起学生的主动思考，在学生观察思考的过程中，自然会找出月历中的规律，而这正是解决下面问题的关键；其二，能降低题目的难度，合理地设计台阶。
　　
　　课堂实践证明这样处理是非常成功的，学生不仅发现月历中数字的横排是按1到31的顺序依次排列，所以空白的地方应是22和23,而且还从竖列中发现上下两个数相差都是7。由这个规律作为铺垫，后面列一元一次方程显得轻而易举。通过此题的探究，学生还发现了月历中斜的三个数的表示，用长方形框出的六个数、九个数的表示等等。
　　
　　从中我深深地感到：留出足够的空白，使教学过程中拥有更多生成的东西。
　　
　　新的课程观强调，课堂是师生共建新知识的过程。给学生一定的开发创造的时间和空间，放手让学生自主学习，能发展学生的问题意识、创造力和想象力。在教学中留下空白，使学生有更多的机会去发挥自已的创造性，在创造的过程中去体验成功，并让成功的体验不断激发学生的创新欲望。“留白”艺术在课堂教学中同样存在着广阔的应用前景。
　　
　　一千个读者就有一千个哈姆莱特
　　
　　—课堂教学中我的“布白”尝试
　　
　　从此，我在课堂教学中不断地进行“布白”尝试，首先把固定的问题结论留作空白。
　　
　　案例一：四边形ABCD中，已知AB∥CD，若要使四边形ABCD为平行四边形，则再增加的一个条件可以是．
　　
　　学生的答案有：AD∥BC；AB＝CD；∠A=∠C;∠B=∠D;∠A+∠D=180°；∠B+∠C=180°等六种之多。
　　
　　评述：老师对AD∥BC和AB＝CD两种答案能估计到，后面的四个答案出乎老师的预料，可见学生不同的个性差异对知识的理解是不同的，不同的知识层次选择不同的切入点导致了不同的结果。或许课堂探究的魅力就在这里，通过交流，每个同学都获得了最大的知识量。
　　
　　案例二：（原题）四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求菱形ABCD的面积.
　　
　　（变后题）四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，我会求.
　　
　　学生的答案有：①有的求出OB＝3cm；②有的求出BD=6cm;③有的求出AC=8cm;④有的求出菱形周长为20cm；⑤有的求出S⊿AOB=6cm2;⑥有的求出S⊿ADB=12cm2;⑦有的求出S⊿ABC=12cm2⑧有的求出S菱形ABCD=24cm2。⑨有的还求出O点到AB的距离为2.4cm。
　　
　　评述：通过题目的改变，学生的解题过程的交流，答案涉及到菱形性质的每个方面，通过解一题就对菱形的所有性质进行了很好的复习，更加难得的是学生在求菱形的面积时产生了多种方法，有的根据菱形面积等于菱形的两条对角线乘积的一半，有的根据菱形的轴对称性求出菱形的面积等于S⊿AOB的4倍。
　　
　　案例三：（原题）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过O点的直线交AD于E点，交BC于F点，试说明OE=OF。
　　
　　（变后题）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过O点的直线交AD于E点，交BC于F点，在图中我能找到相等的量有。
　　
　　（延伸题）E点、F点分别交于BA和DC的延长线，则线段OE、OF还相等吗？
　　
　　学生找到相等的量有：（相等的线段7组）OA=OC;OB=OD;AD=BC;AB=CD;AE=CF;DE=BF；OE=OF.(相等的角12组)∠AOB＝∠COD；∠AOD＝∠COB；∠OAB＝∠OCD；∠ABO＝∠CDO；∠OAD＝∠OCB；∠ODA＝∠OBC；∠AEO＝∠CFO;∠AOE＝∠COF;∠EOD＝∠FOB;∠ABC＝∠CDA;∠BAD＝∠DCB;∠DEO＝∠BFO.（全等的图形及相关结论21组）⊿AOB和⊿COD;⊿AOD和⊿COB;⊿AOE和⊿COF;⊿DOE和⊿BOF;⊿ADB和⊿CBD;⊿ACB和⊿CAD;梯形ABFE和梯形CDEF；所有全等图形的周长、面积都相等。
　　
　　评述：虽然两个问题都用到平行四边形是一个中心对称图形这一性质，但是结论个数的40：1充分说明了学生的探究欲望得到了有效的开启，使不同的学生都可以有不同的发现，人人都能获得成功，体验成功，学生会乐此不疲地主动探究。另一方面，“一题多解，多题一解”最大限度地提高了课堂的效率。
　　
　　案例四：（原题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于E，若AE：ED＝3:1，BC＝8cm，求AB的长．
　　
　　（变后题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于E，若AE：ED＝3:1，BC＝8cm，根据已知条件我能得到．
　　
　　学生的结果有：AE=6cm;ED=2cm;AB=6cm;AD=8cm;CD=6cm;平行四边形ABCD的周长为28cm；线段BE的取值范围为0＜BE＜12。
　　
　　评述：作为几何题，或许原题更能使学生找到解题的思路，但不能培养学生的问题意识和提出问题的能力。难能可贵的是学生对线段BE的取值范围的考虑出乎老师的想象，我在上课时对学生的这个结论也不敢冒昧定论，而在同学们讲述理由的空隙里进行了思考，学生提出的问题能把老师问住，应该说学生的各种能力得到了有效的培养。
　　
　　案例五：（原题）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD上任一点，试说明S⊿BCE＝S⊿ABE+S⊿CDE．
　　
　　（变后题）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD上任一点，试比较S⊿BCE与S⊿ABE+S⊿CDE的大小，并说出你的方法．
　　
　　受证明题结论的定势影响，学生对原题的解法大多数是根据三个三角形具有相等的高，而底AE加上ED等于BC，从而得出S⊿BCE＝S⊿ABE+S⊿CDE。而变后题学生更注重解决问题的方法，学生通过动手剪拼后，得到了下面的三种方法，第一种把总面积一分为二，再分别证相等；第二种通过把其中的一个平移合二为一，再证相等；第三种说明S⊿BCE与S⊿ABE+S⊿CDE都是整个平行四边形面积的一半。
　　
　　评述：变后题让学生的视野更开阔，充分培养了学生的动手能力，从解决问题的过程中体验了数学的化归思想方法，这种从学生的“生产劳动”中创造出的数学思想，学生会理解得更深层，掌握得入微。
　　
　　案例六：
　　
　　（1）A、B两景区相距500米，有直道相通，现甲乙两人分别从A、B两景区相向而行，甲速为20米/分,乙速为30米/分，乙先出发两分钟，问：甲出发多少分钟后，两人相遇？
　　
　　（2）甲乙两人合做旅游纪念品500个，已知甲每小时做20个，乙每小时做30个，乙先做2小时，那么两人再合做多少小时可以完成任务？
　　
　　（3）小明购买甲乙两种礼品，共花去500元，已知甲种礼品每件20元，乙种礼品每件30元，乙比甲多两件，问甲种礼品有多少件？
　　
　　从上述三题，你发现了什么？你能根据生活体验再编一道应用题吗？
　　
　　学生的回答有：
　　
　　学生1：A、B两城相距500千米，有直道相通，现甲乙两车分别从A、B两城相向而行，甲车的速度为20千米/时,乙车的速度为30千米/时，乙车先出发两小时，问：甲车出发多少小时后，两车相遇？
　　
　　学生2：某小池的容量为500吨，有甲乙两个出水管，已知甲管每小时放20吨，乙管每小时放30吨，乙管先放2小时，那么两管再合放多少小时可以放完？
　　
　　学生3：甲乙两人合打一篇文章共500个字，已知甲每分钟打20个，乙每分钟打30个，乙先打2分钟，那么两人再合打多少分钟可以完成任务？
　　
　　学生4:甲乙两人需合做袜子500双，已知甲每小时可做20双，乙每小时可做30双，乙先做了2小时，那么两人再做多少小时可以完工？
　　
　　学生5：小明购买足球和篮球若干只，共花去500元，已知篮球每只20元，足球每只30元，足球比篮球多两只，问篮球有多少只？
　　
　　学生6：小明卖出若干只鸡和兔共得钱500元，已知鸡每只20元，兔每只30元，卖出兔比鸡多两只，问鸡有多少只？
　　
　　……
　　
　　评述：只要留给学生充足的时间和空间，学生完全能够根据自己的知识积累和不同的生活经验编出更多、更好的应用问题。尽管没有经过计算，在数字上可能会存在些问题，但你不得不对学生的生活经验的积累得如此丰富而发出感叹，课堂应该是学生的，应该把课堂上的时间和空间尽可能多地还给学生。
　　
　　“留白”使课堂探究更主动
　　
　　传统的教学，一直以为“教师课堂上解决问题，把所教学内容讲深讲透，不给学生课后留下疑问，让学生提不出问题的教师就是好教师。”这种做法抑制了学生的各种能力的培养，抑制了学生的创造发明，抑制了学生健全人格的养成。
　　
　　新课程更尊重学生的不同的个性，强调学生的数学学习是现实的、有意义的、富有挑战性的，富有经验的老师在学生产生一种心求通而未得、欲言而未达的“愤悱”心理时布下空白，让学生思考、讨论，利用学生个体间的知识、经验差异互补解决问题。
　　
　　弗赖登塔尔认为每个人都有自己生活、工作和思考着的特定的客观世界，以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构，就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。数学课堂中“留白”的运用，能让学生看到成功的希望，明确努力的目标，获得前进的动力，一步一步地发展自己，一点一滴地完善自己。
　　
　　“留白”艺术，遵循了学生的认知心理规律，摒弃了面面俱到、点滴不漏的讲解分析，使课堂教学开合有度。每个教师应有意创造时间上的空白，给学生的咀嚼的余地，应留出教学活动的空地，让学生参与轮作。天高任鸟飞，是“留白”让学生的课堂探究更主动。（来源：凤凰数学）